Mathématiques

Algèbre de composition

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Par définition et en suivant [1] c'est une algèbre unitaire A sur un corps K munie d'une forme quadratique non dégénérée Q tel que: ∀(X,Y) ∈ A² Q(XY)=Q(X)Q(Y) Cette définition permet d'énoncer le théorème d'Hurwitz dans sa plus grande généralité. Elle généralise la notion d'algèbre normée de division où tous les vecteurs (sauf 0) sont non isotropes.


Références

  1. A Taste of Jordan algebras,
    MacCrimmon, K.
    , Universitext, p.589, (2004)
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Formes quadratiques dégénérées et vecteurs isotropes

aoû
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Définitions:

1) une forme quadratique Q est dégénérée si et seulement si sa forme bilinéaire associée l'est.
2) un vecteur X est isotrope pour une forme quadratique Q si Q(X) = 0

exemple: sur ℝ² notons X=(x,y) X₁=(x₁, y₁) X₂= (x₂, y₂)

Q la forme quadratique et φ sa forme bilinéaire associée.

Elles sont liées par l'identité de polarisation:

Q(X₁+X₂) - Q(X₁) - Q(X₂) = 2 φ(X₁,X₂)

Si Q(X)=x² alors φ(X₁,X₂) = x₁x₂ qui est dégénérée, (0,1) étant orthogonal à tout vecteur

Si Q(X)= 2xy alors φ(X₁,X₂)= x₁y₂+y₁x₂ qui n'est pas dégénérée, le déterminant de sa matrice dans la base canonique de ℝ² vaut -1, pourtant cette forme quadratique possède des vecteurs isotropes comme (0,1) ou (3,0)

Conclusion: une forme quadratique peut posséder des vecteurs isotropes sans être dégénérée.

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ℝ-algèbre de division

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Théorème de Frobenius: Toute ℝ-algèbre (associative) de division de dimension finie non commutative est isomorphe à ℍ.

Réf: Rotman Advanced algebra p 735.

Théorème d'Hurwitz: Toute ℝ-algèbre (non nécessairement associative) normée (∀(x,y) ∈ A² ‖x.y‖=‖x‖.‖y‖ ) unitaire est isomorphe à ℝ, ℂ, ℍ ou aux Octonions.[1]page 166

Ce résultat se généralise si l'algèbre n'est pas unitaire. L'hypothèse de dimension finie est ici superflue. Ce théorème se généralise à tout corps.

Remarque: dans le procédé de doublement de Cayley-Dickson N(a ⊕ bm) = n(a) − µn(b) [1]page 64, où n est la norme sur l'algèbre de "départ", la norme N de la nouvelle algèbre est définie sur ℝ si et seulement si µ est strictement négatif . Ce qui revient à prendre µ=-1 dans ℝ.

Remarque: on peut remplacer la norme par une forme quadratique isotrope, on définit alors les complexes,quaternions, octonions fendus (split) [1]page 66 qui ne forment pas des algèbres de division.

Réf: Conway, Smith chapitre 6 p 72

Références

  1. A Taste of Jordan algebras,
    MacCrimmon, K.
    , Universitext, p.589, (2004)
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Représentation spinorielle

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SO(2n) et SO(2n+1) sont des groupes de Lie non compacts, bien que bornés, leur recouvrement à deux feuillets Spin(2n) et Spin(2n+1)
sont eux compacts.

Les diagrammes de Dynkin de ces deux familles de groupes de Lie commencent par des points reliés par des tirets mais à leur extrémité on trouve ou bien une double ligne pour Spin (2n+1) ou bien une ramification pour Spin(2n).

Ces deux points terminaux correspondent aux représentations spinorielles de Spin(N). On peut rencontrer l'expression représentation spinorielle de SO(N) au lieu de Spin(N), ce qui est un raccourcis.

Spin(N) est naturellement un sous groupe de l'algèbre de Clifford Cl(N) comme produits pairs de vecteurs de longueur 1.
Toute représentation de l'algèbre de Clifford induira une représentation de Spin (N).

Ce phénomène n'existe pas pour la famille SU(N) car leur diagramme de Dynkin est une suite de points non ramifiés relié par de simple ligne.

Réf:
Bröcker
Kirillov
Knapp : Lie Groups beyond..
Hall: Lie groups..
Fulto: representation...
Simon B: representation...
Adams JF: lectures
Humphreys James: Introduction to Lie algebras
Varadarajan: Lie groups..

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Automorphismes d'algèbres de division normées

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La caractérisation des automorphismes φ des algèbres de division normées A = ℂ, ℍ ou Octonions

L'automorphisme d'algèbre normée vérifie par définition

1) φ est bijectif
2) φ est ℝ linéaire
3) ∀(x,y) ∈ A² ‖φ(x.y)‖=‖φ(x)‖.‖φ(y)‖

Ⅰ) Complexes

φ est ou bien l'identité ou la conjugaison.

À noter que si on lève l'hypothèse sur la conservation de la norme (module) il existe des automorphismes de corps sur ℂ non continus.
réf: http://fr.wikipedia.org/wiki/Automorphisme_de_corps_non_continu_de_C
Une conséquence de l'axiome du choix non dénombrable.

Réf: Arnaudès Fraysse Algèbre page 221

Ⅱ) Quaternions

1) Tout automorphisme du corps ℍ est intérieur.

Réf: Bourbaki, Topologie VIII 25 exercice 5

2) Une généralisation :

Théorème: soit A un anneau semi-simple, C son centre, et u un automorphisme de A. On suppose que A est un C-module de type fini, et que u(x)=x
pour tout x de C, Alors u est un automorphisme intérieur. BA8 page 254

Corollaire1 : Si E est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps, alors tout endomorphisme des K-algèbres End(K,V) et M(n,K) est intérieur.

Corollaire2 : si un corps K est de degré fini sur son centre, tout automorphisme qui laisse les éléments de C fixes est intérieur.

Or d'après BA8 page 355 une algèbre de quaternions sur le corps K de type (a,b,c) est centrale simple si et seulement si
(4a+b²)c est différent de zéro (ce qui est vérifié par les quaternions de Hamilton de type (-1,0,-1)), dans ce cas tout automorphisme laissant K fixe est intérieur.

Ⅲ) Octonions

L'ensemble des ℝ automorphisme d'algèbre normée des octonions est le groupe de Lie G₂ AdamsLie

Ⅳ) Réels:

Le seul automorphisme de corps est l'identité, l'hypothèse sur la norme (valeur absolue) n'est pas nécessaire. L'existence d'un ordre   total sur ℝ s'y substitue.

Arnaudiès Fraysse Analyse page 22 et 30

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