Mathématiques

La norme ISO 80000-2:2009 2-6.1 à 2-6.6 prescrit d'écrire les ensembles de nombres par une lettre majuscule en gras, cette convention est celle utilisée par Bourbaki.

Cela pose un problème quand on écrit sur une feuille ou au tableau, comment rendre une lettre grasse dans ce contexte.
On utilise alors traditionnellement les lettres avec double barres. Cependant la typographie utilisée nous donnera un rendu différent.

On peut utiliser la police de caractère BoldBlackboard: http://fr.wikipedia.org/wiki/Blackboard_gras
en Latex on fait précéder la lettre du \mathbb
Avantage: cette typographie est reprise par UNICODE notamment dans le BMP 2100: http://www.unicode.org/charts/PDF/U2100.pdf
Inconvénient: en manuscrit le R est compliqué à reproduire, c'est pour cela que nous sommes un certain nombre à utiliser une autre convention typographique qui a été popularisée par Ramis/Deschamps/Odoux qui se contente de doubler uniquement la partie gauche de la lettre. Ceci est plus simple et économe en encre et plus rapide.

Cette typographie peut être rendue sous Latex si on utilise la police Double Struck Font, http://www.ctex.org/documents/packages/math/dsdoc.pdf
la commande \mathds{N} affichera un N avec double barre à gauche et non sur la barre oblique comme avec la Blackboard Bold

La loi binomiale est la pierre angulaire du programme de première et terminale S et ES en matière de variable aléatoire discrète.

Sur les calculettes Texas Instruments® on peut calculer P(X=k) par la fonction binomFdp, et P(X≤k) par la fonction binomFrép.

Il n'est très facile de mémoriser et surtout distinguer ces deux fonctions, la connaissance des abréviations que constituent ces deux noms peut aider à s'en souvenir.

binomFdp: pour binomiale Fonction de probabilité

binomFrép: pour binomiale Fonction de répartition, or la fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète est F(t) = P(X≤t)

Ceci représente un moyen mnémotechnique permettant de distinguer ces deux fonctions liées à la loi binomiale.

On peut définir deux approches de la notion de mesure, l'approche ensembliste qui consiste à affecter un nombre à des sous ensemble de l'ensemble référent A et l'approche fonctionnelle qui considérera le dual des fonctions continues à support compact.

Ces deux approches coincident si A a les bonnes propriétés c'est le théorème de Radon-Riesz.

La norme ISO 80000-2 définissant les symboles mathématiques prescrit deux notations différentes pour les combinaisons selon le contexte.

Ci dessous: 0≤p≤n

En combinatoire on conserve la notation traditionnelle française avec un C: $\LARGE C_n^p$ , qui indique le nombre de combinaisons sans répétition
Norme ISO 80000-2-10.6

Les coefficients binomiaux se notent entre parenthèses $\begin {pmatrix}n\\p \end{pmatrix}$
Norme ISO 80000-2-10.4

Ces deux expressions valant toutes deux n!/p!(n-p)!

Les noms apparaissant en théorie de la mesure ensembliste ne sont pas toujours les même notamment entre les textes anglais et français, ceci permettra également de rappeler certaines définitions:

Notations: Ω désignera un ensemble, P(Ω) l'ensemble des parties de Ω.

Définition: Pré-clan ou demi-clan ou semi-anneau de sous-ensembles de Ω (semi-ring of subsets) A ⊂ P(Ω) :
1) Ø ∈ A
2) A est stable par intersection finie
3) Pour tout élément E et F de A tel que E ⊂ F, E\F est union finie disjointe d'éléments de A deux à deux disjoints

Définition: Pré clan unifère ou semi-algèbre de Boole (semi algebra): un pré-clan qui contient Ω

Définition: Clan unifère ou algèbre de sous-ensemble (algebra of subsets) : une famille de sous ensemble de Ω contenant Ω, stable par union finie et stable par complémentaire. Il est équivalent à la stabilité par union finie d'exiger la stabilité par intersection finie.

Il est listé ci dessous certains duals d'espaces fonctionnels peu répandus dans la littérature car faisant intervenir les fonctions finiment additives d'ensemble, ce qui sort du cadre répandu de la théorie de la mesure fondée sur les fonctions d'ensembles dénombrablement additives.

Définition:

Théorème: Soit l'algèbre des matrices carrées à coefficients dans un anneau A, M(n,A), alors cette algèbre est centrale. Les seules matrices qui commutent avec toutes les matrices de cette algèbre sont des multiples de l'identité, k.Id avec k ∈ A.

[1] page 78

Références

1. Bourbaki N. 
   1958.  Bourbaki algèbre 8. Algèbre. 8:481.

Théorème de Wedderburn: un anneau est simple si et seulement si il est isomorphe à un anneau de matrices carrées M(n,K) où K est un corps et n un entier. [1] page 116

Corollaire: tout idéal bilatère de M(n,K) est réduit à O ou est égale à M(n,K)

Références

1. Bourbaki N. 
   1958.  Bourbaki algèbre 8. Algèbre. 8:481.

Par définition et en suivant [1] c'est une algèbre unitaire A sur un corps K munie d'une forme quadratique non dégénérée Q tel que: ∀(X,Y) ∈ A² Q(XY)=Q(X)Q(Y) Cette définition permet d'énoncer le théorème d'Hurwitz dans sa plus grande généralité. Elle généralise la notion d'algèbre normée de division où tous les vecteurs (sauf 0) sont non isotropes.

Références