Equivalence de vocabulaire en théorie de la mesure ensembliste

sep
11

Les noms apparaissant en théorie de la mesure ensembliste ne sont pas toujours les même notamment entre les textes anglais et français, ceci permettra également de rappeler certaines définitions:

Notations: Ω désignera un ensemble, P(Ω) l'ensemble des parties de Ω.

Définition: Pré-clan ou demi-clan ou semi-anneau de sous-ensembles de Ω (semi-ring of subsets) A ⊂ P(Ω) :
1) Ø ∈ A
2) A est stable par intersection finie
3) Pour tout élément E et F de A tel que E ⊂ F, E\F est union finie disjointe d'éléments de A deux à deux disjoints

Définition: Pré clan unifère ou semi-algèbre de Boole (semi algebra): un pré-clan qui contient Ω

Définition: Clan unifère ou algèbre de sous-ensemble (algebra of subsets) : une famille de sous ensemble de Ω contenant Ω, stable par union finie et stable par complémentaire. Il est équivalent à la stabilité par union finie d'exiger la stabilité par intersection finie.

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Fonctions additives d'ensembles et dualité

sep
11

Il est listé ci dessous certains duals d'espaces fonctionnels peu répandus dans la littérature car faisant intervenir les fonctions finiment additives d'ensemble, ce qui sort du cadre répandu de la théorie de la mesure fondée sur les fonctions d'ensembles dénombrablement additives.

Définition:

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Guillemets droits sur clavier swype

sep
07

La version française du clavier swype sur Android ne possède pas en ce mois de septembre 2012 de guillemets droits, ce qui est gênant pour certaines recherches Google.

On peut contourner ce problème en basculant sur le clavier en anglais, puis en appuyant "longuement" sur la touche L: les guillemets droits sont proposés au menu, parmi d'autres types de guillemets.

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Théorème de Skolem-Noether

aoû
27

Voici un énoncé simplifié.

Théorème sz Skolem-Noether: dans une algèbre A (associative) centrale simple (de dimension finie) sur un corps K tout K-automorphisme d'algèbre est intérieur.[1] page 734, [2] page 252

Références

  1. Advanced modern algebra,
    J.Rotman
    , 2002, p.1040, (2003)
  2. Bourbaki algèbre 8,
    Bourbaki, N.
    , Algèbre, Volume 8, p.481, (1958)
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L'algèbre des matrices carrées sur un anneau est centrale

aoû
27

Théorème: Soit l'algèbre des matrices carrées à coefficients dans un anneau A, M(n,A), alors cette algèbre est centrale. Les seules matrices qui commutent avec toutes les matrices de cette algèbre sont des multiples de l'identité, a.Id avec a ∈ A. [1] page 78

Références

  1. Bourbaki algèbre 8,
    Bourbaki, N.
    , Algèbre, Volume 8, p.481, (1958)
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L'algèbre des matrices carrées sur un corps est simple

aoû
27

Théorème de Wedderburn: un anneau est simple si et seulement si il est isomorphe à un anneau de matrices carrées M(n,K) où K est un corps et n un entier. [1] page 116

Corollaire: tout idéal bilatère de M(n,K) est réduit à O ou est égale à M(n,K)

Références

  1. Bourbaki algèbre 8,
    Bourbaki, N.
    , Algèbre, Volume 8, p.481, (1958)
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Neutrinos supraluminiques une simple erreur de connexion

aoû
24

Des mesures de vitesses de neutrinos supérieures à celle de la lumière furent annoncer en 2011, la revue Science du 2 mars 2012 annonce la cause de l'erreur: un mauvaise connexion!

Réf: Science n°6072 page 1027
http://www.sciencemag.org/content/335/6072/1027.summary?sid=b9816908-af6...

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Interclassement Mysql

aoû
20

L'interclassement permet de classer les caractères: l'alphabet romain est traditionnellement classé de A à Z, mais comment faire quand les caractères se multiplient avec des é, è, sans parler de l'inflation récente du nombre de caractères depuis la généralisation de l'Unicode.

L'interclassement répond à cette problématique, il ordonne la liste des caractères utilisés, cette ordre doit être total. Cet ordonnancement est particulièrement utile pour les recherches dans la base de données.

Par exemple en français le é est très utilisé il convient donc d'utiliser un interclassement qui lui confère un rang peu élevé dans la liste des caractères, ainsi les recherches portant sur ce caractère seront plus rapides.

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Algèbre de composition

aoû
19

Par définition et en suivant [1] c'est une algèbre unitaire A sur un corps K munie d'une forme quadratique non dégénérée Q tel que: ∀(X,Y) ∈ A² Q(XY)=Q(X)Q(Y) Cette définition permet d'énoncer le théorème d'Hurwitz dans sa plus grande généralité. Elle généralise la notion d'algèbre normée de division où tous les vecteurs (sauf 0) sont non isotropes.


Références

  1. A Taste of Jordan algebras,
    MacCrimmon, K.
    , Universitext, p.589, (2004)
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Formes quadratiques dégénérées et vecteurs isotropes

aoû
19

Définitions:

1) une forme quadratique Q est dégénérée si et seulement si sa forme bilinéaire associée l'est.
2) un vecteur X est isotrope pour une forme quadratique Q si Q(X) = 0

exemple: sur ℝ² notons X=(x,y) X₁=(x₁, y₁) X₂= (x₂, y₂)

Q la forme quadratique et φ sa forme bilinéaire associée.

Elles sont liées par l'identité de polarisation:

Q(X₁+X₂) - Q(X₁) - Q(X₂) = 2 φ(X₁,X₂)

Si Q(X)=x² alors φ(X₁,X₂) = x₁x₂ qui est dégénérée, (0,1) étant orthogonal à tout vecteur

Si Q(X)= 2xy alors φ(X₁,X₂)= x₁y₂+y₁x₂ qui n'est pas dégénérée, le déterminant de sa matrice dans la base canonique de ℝ² vaut -1, pourtant cette forme quadratique possède des vecteurs isotropes comme (0,1) ou (3,0)

Conclusion: une forme quadratique peut posséder des vecteurs isotropes sans être dégénérée.

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