ℝ-algèbre de division

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Théorème de Frobenius: Toute ℝ-algèbre (associative) de division de dimension finie non commutative est isomorphe à ℍ.

Réf: Rotman Advanced algebra p 735.

Théorème d'Hurwitz: Toute ℝ-algèbre (non nécessairement associative) normée (∀(x,y) ∈ A² ‖x.y‖=‖x‖.‖y‖ ) unitaire est isomorphe à ℝ, ℂ, ℍ ou aux Octonions.[1]page 166

Ce résultat se généralise si l'algèbre n'est pas unitaire. L'hypothèse de dimension finie est ici superflue. Ce théorème se généralise à tout corps.

Remarque: dans le procédé de doublement de Cayley-Dickson N(a ⊕ bm) = n(a) − µn(b) [1]page 64, où n est la norme sur l'algèbre de "départ", la norme N de la nouvelle algèbre est définie sur ℝ si et seulement si µ est strictement négatif . Ce qui revient à prendre µ=-1 dans ℝ.

Remarque: on peut remplacer la norme par une forme quadratique isotrope, on définit alors les complexes,quaternions, octonions fendus (split) [1]page 66 qui ne forment pas des algèbres de division.

Réf: Conway, Smith chapitre 6 p 72

Références

  1. A Taste of Jordan algebras,
    MacCrimmon, K.
    , Universitext, p.589, (2004)
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Représentation spinorielle

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SO(2n) et SO(2n+1) sont des groupes de Lie non compacts, bien que bornés, leur recouvrement à deux feuillets Spin(2n) et Spin(2n+1)
sont eux compacts.

Les diagrammes de Dynkin de ces deux familles de groupes de Lie commencent par des points reliés par des tirets mais à leur extrémité on trouve ou bien une double ligne pour Spin (2n+1) ou bien une ramification pour Spin(2n).

Ces deux points terminaux correspondent aux représentations spinorielles de Spin(N). On peut rencontrer l'expression représentation spinorielle de SO(N) au lieu de Spin(N), ce qui est un raccourcis.

Spin(N) est naturellement un sous groupe de l'algèbre de Clifford Cl(N) comme produits pairs de vecteurs de longueur 1.
Toute représentation de l'algèbre de Clifford induira une représentation de Spin (N).

Ce phénomène n'existe pas pour la famille SU(N) car leur diagramme de Dynkin est une suite de points non ramifiés relié par de simple ligne.

Réf:
Bröcker
Kirillov
Knapp : Lie Groups beyond..
Hall: Lie groups..
Fulto: representation...
Simon B: representation...
Adams JF: lectures
Humphreys James: Introduction to Lie algebras
Varadarajan: Lie groups..

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Automorphismes d'algèbres de division normées

aoû
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La caractérisation des automorphismes φ des algèbres de division normées A = ℂ, ℍ ou Octonions

L'automorphisme d'algèbre normée vérifie par définition

1) φ est bijectif
2) φ est ℝ linéaire
3) ∀(x,y) ∈ A² ‖φ(x.y)‖=‖φ(x)‖.‖φ(y)‖

Ⅰ) Complexes

φ est ou bien l'identité ou la conjugaison.

À noter que si on lève l'hypothèse sur la conservation de la norme (module) il existe des automorphismes de corps sur ℂ non continus.
réf: http://fr.wikipedia.org/wiki/Automorphisme_de_corps_non_continu_de_C
Une conséquence de l'axiome du choix non dénombrable.

Réf: Arnaudès Fraysse Algèbre page 221

Ⅱ) Quaternions

1) Tout automorphisme du corps ℍ est intérieur.

Réf: Bourbaki, Topologie VIII 25 exercice 5

2) Une généralisation :

Théorème: soit A un anneau semi-simple, C son centre, et u un automorphisme de A. On suppose que A est un C-module de type fini, et que u(x)=x
pour tout x de C, Alors u est un automorphisme intérieur. BA8 page 254

Corollaire1 : Si E est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps, alors tout endomorphisme des K-algèbres End(K,V) et M(n,K) est intérieur.

Corollaire2 : si un corps K est de degré fini sur son centre, tout automorphisme qui laisse les éléments de C fixes est intérieur.

Or d'après BA8 page 355 une algèbre de quaternions sur le corps K de type (a,b,c) est centrale simple si et seulement si
(4a+b²)c est différent de zéro (ce qui est vérifié par les quaternions de Hamilton de type (-1,0,-1)), dans ce cas tout automorphisme laissant K fixe est intérieur.

Ⅲ) Octonions

L'ensemble des ℝ automorphisme d'algèbre normée des octonions est le groupe de Lie G₂ AdamsLie

Ⅳ) Réels:

Le seul automorphisme de corps est l'identité, l'hypothèse sur la norme (valeur absolue) n'est pas nécessaire. L'existence d'un ordre   total sur ℝ s'y substitue.

Arnaudiès Fraysse Analyse page 22 et 30

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Désactiver alt key Firefox

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Les alt key de Firefox interfèrent avec les alt code Unicode de Windows,

en effet quand on tape alt puis + puis un "a" Firefox par défaut ouvre l'onglet afficher donc impossible de taper Ψ en alt code Unicode Windows (alt + 3a8), cela ouvre l'onglet et le caractère Unicode ne s'affiche pas.

Pour désactiver les alt key Firefox, taper about:config dans la barre d'adresse de Firefox, enter, le message d'avertissement de Firefox apparaît car nous entrons dans la page de tous les paramètres de Firefox.

Localisez la ligne (par le moteur de recherche interne à cette page en haut) ui.key.menuAccessKey modifiez la valeur par défaut 17 sous Windows par 0.

Petit test avec des alt code contenant a, b, c, d, e, f: Π (03a0) α(03b1) σ(03c3) Ξ (039e) ϰ(03f0) Reste un problème le alt-d active la barre d'adresse, ce qui pose problème pour phi ϕ (03d5)

Pour remédier à ce dernier problème  installez le module Firefox Shortcuts accessible après installation et reboot de Firefox dans Outils⇒Options clic gauche en haut à droite apparaît l'icône de Shorcuts. En bas Focus URL Bar 2 admet comme alt Key alt-D d'où l'interférence avec les alt-code Unicode contenant un D. Éditez cette ligne en tapant alt-G par exemple puis ok.

 

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Unicode et alt code Windows

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11

Plus précisément un petit mémo pour activer les alt code Unicode sur un clavier sous Windows 7 , ou Vista. Deux types de alt code sont accessibles sous Windows 7 par défaut,

1) alt (maintenu appuyé) puis on entre un nombre en décimale entre 0 et 255 ceci fourni un caractère issu de la page de code 850.

Ainsi le "alt" suivi de 128 affiche le caractère Ç (U+00C7 en Unicode) quand on relâche la touche alt,

128 décimal= 80 en hexadécimal

 

2) alt (maintenu appuyé) suivi d'un zéro puis de trois autres chiffres fourni un alt code pour un caractère provenant d'une page de code Windows 1252

Ainsi "alt" (sans les guillemets) suivi d'un zéro puis de 128 affiche le caractère €

 

Le problème est qu'en unicode de code point U+0080 (soit 128 en décimal) n'est ni le symbole euro ni le C cédille majuscule.

 

Par ailleurs le clavier permet d'afficher une centaine de caractère alors que les tables unicode en comptent des milliers.Windows fournit bien parmi ses utilitaires systèmes une table de caractère Unicode  (pour peu que la police de caractère utilisée le supporte) mais pour ceux qu'on utilise le plus il est plus rapide de le taper au clavier. D'où l'intérêt de pouvoir taper des alt-code faisant apparaître les caractères Unicode. Heureusement une modification simple du registre le permet.

 

a) Ouvrir le logiciel Regedit en tapant regedit dans le moteur de recherche

b) Ouvrir HKEY_CURRENT_USER\Control Panel\Input Method

c) Faire un clic droit sur \input method , puis suivre la petit flèche "Nouveau" puis une fois qu'il apparaît un clic gauche sur "Valeur chaine"

d)Donnée à cette chaine le nom EnableHexNumpad

puis sur la ligne du dessous dans la boite de dialogue la valeur "1" (sans les guillemets) à cette chaîne

e) Fermer regedit et rebootez l'ordinateur, vous allez pouvoir taper des alt-code unicode au clavier:

 

Alt-code Unicode:

-laissez enfoncer la touche "alt"

-appuyé une fois sur la touche "plus" du pavé numérique puis tapé le point de code unicode du caractère souhaité quand vous relachez la touche "alt" le carractère apparait.

 Ainsi "alt" suivi de "+" puis de "00c7" fournit €€€€€Ç ,  et alt plus 2230 une jolie intégrale triple de flux ∰

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Code Page Windows non Unicode

aoû
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Vous trouverez ci dessous les Code Page trouvés sur Windows 7

tels qu'ils apparaissent  dans le registre sous:

HKEY_LOCAL_MACHINE\SYSTEM\CurrentControlSet\Control\Nls\CodePage

A chacun de ces code page correspond un fichier .NLS dans le répertoire xxx/windows/system32

ou pour la série 5xxxx un fichier .dll dans le même répertoire.

 

Tout ceci ne concerne que des encodages non UNICODE

CodePage/Identifiant   
37     IBM037                    
437    IBM437                    
500    IBM500                    
708    ASMO-708                  
720    DOS-720                   
737    ibm737                    
775    ibm775                    
850    ibm850                    
852    ibm852                    
855    IBM855                    
857    ibm857                    
858    IBM00858                  
860    IBM860                    
861    ibm861                    
862    DOS-862                   
863    IBM863                    
864    IBM864                    
865    IBM865                    
866    cp866                     
869    ibm869                    
870    IBM870                    
874    windows-874              
875    cp875                     
932    shift_jis                 
936    gb2312                    
949    ks_c_5601-1987            
950    big5                     
1026   IBM1026                   
1047   IBM01047                  
1140   IBM01140                  
1141   IBM01141                  
1142   IBM01142                 
1143   IBM01143                  
1144   IBM01144                  
1145   IBM01145                  
1146   IBM01146                  
1147   IBM01147                  
1148   IBM01148                  
1149   IBM01149                             
1250   windows-1250              
1251   windows-1251              
1252   Windows-1252              
1253   windows-1253              
1254   windows-1254              
1255   windows-1255             
1256   windows-1256              
1257   windows-1257              
1258   windows-1258              
1361   Johab                     
10000  macintosh                 
10001  x-mac-japanese            
10002  x-mac-chinesetrad         
10003  x-mac-korean              
10004  x-mac-arabic              
10005  x-mac-hebrew              
10006  x-mac-greek               
10007  x-mac-cyrillic            
10008  x-mac-chinesesimp         
10010  x-mac-romanian            
10017  x-mac-ukrainian           
10021  x-mac-thai                
10029  x-mac-ce                  
10079  x-mac-icelandic           
10081  x-mac-turkish            
10082  x-mac-croatian           
20000  x-Chinese-CNS             
20001  x-cp20001                 
20002  x-Chinese-Eten            
20003  x-cp20003                 
20004  x-cp20004                
20005  x-cp20005                 
20105  x-IA5                     
20106  x-IA5-German              
20107  x-IA5-Swedish             
20108  x-IA5-Norwegian           
20127  us-ascii                  
20261  x-cp20261                 
20269  x-cp20269                 
20273  IBM273                    
20277  IBM277                    
20278  IBM278                    
20280  IBM280                    
20284  IBM284                    
20285  IBM285                    
20290  IBM290                    
20297  IBM297                   
20420  IBM420                    
20423  IBM423                    
20424  IBM424                    
20833  x-EBCDIC-KoreanExtended   
20838  IBM-Thai                  
20866  koi8-r                    
20871  IBM871                    
20880  IBM880                    
20905  IBM905                   
20924  IBM00924                  
20932  EUC-JP                    
20936  x-cp20936                
20949  x-cp20949                 
21025  cp1025                    
21866  koi8-u                    
28591  iso-8859-1                
28592  iso-8859-2               
28593  iso-8859-3                
28594  iso-8859-4                
28595  iso-8859-5                
28596  iso-8859-6                
28597  iso-8859-7                
28598  iso-8859-8                
28599  iso-8859-9                
28603  iso-8859-13               
28605  iso-8859-15               
29001  x-Europa                  
38598  iso-8859-8-i              
50220  iso-2022-jp               
50221  csISO2022JP              
50222  iso-2022-jp               
50225  iso-2022-kr               
50227  x-cp50227                 
51932  euc-jp                    
51936  EUC-CN                    
51949  euc-kr                    
52936  hz-gb-2312                
54936  GB18030                  
57002  x-iscii-de               
57003  x-iscii-be               
57004  x-iscii-ta                
57005  x-iscii-te                
57006  x-iscii-as               
57007  x-iscii-or                
57008  x-iscii-ka                
57009  x-iscii-ma                
57010  x-iscii-gu                
57011  x-iscii-pa              

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Unicode et Windows

aoû
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Source Microsoft:

En UTF-8 chaque code-point est encodé sur 1,2,3 ou 4 octets. Windows nomme ce codage code page 65001. Un seul octet pour les code-points entre U+0000 et U+007F (entre 0 et 127 en décimale) qui correspond au codage ASCII. Deux octets entre U+0080 et U+07FF. Trois octets entre U+0800 et U+D7FF ou entre U+E000 et U+FFFF. Qutre octets au delà de U+FFFF.

en UTF-16 chaque code-point est codé sur un ou deux doublets (16-bit) , l'ordre des deux doublets distinguants le codage petit boutiste  ou gros boutiste. Windows dénomme code page 1200 le codage UTF-16 petit boutiste et code page 1201 le codage UTF-16 grand boutiste. Un seul doublet pour les code-points de U+0000 à U+FFFF, deux doublets pour les plans entre  U+10000 et U+10FFFF       

en UTF-32 chaque code-point est codé sur un seul entier 32-bit. Windows dénomme ce codage UTF-32 par code page 65005pour le petit boutiste et 65006 pour le grand boutiste.

 

Résumé: les code page Unicode Windows (7) sont

65000: UTF-7 (pas UNICODE stricto sensu)

65001: UTF-8

1200:   UTF-16  (petit boutiste)

1201:   UTF-16  (grand boutiste)

65005: UTF-32 (petit boutiste)

65006: UTF-32 (grand boutiste)

Réf :Passeport pour unicode

 Desgraupes chez Vuibert

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MySQL et KEY_BUFFER

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11

Certains tutos utilsent la variable MySQL key_buffer et d'autres key_buffer_size, il s'agit simplement d'un problème de version du serveur MySQL, avant la version 3.21 la variable se nommait key_buffer depuis cette variable se nomme key_buffer_size, vérifié a minima sur le manuel de la version 5.5 qui ne contient que du key_buffer_size.

Sources : manuel français version 5.0 page 123

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Le module Drupal View création

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Non trouvée sur une doc en ligne, l'ensemble des choix, ils sont nombreux, offerts lors de la création d'une Vue Drupal

Présentation sous forme arborescente

Ⅰ) Lors de création de la vue: côté admin : Structure → Types de contenus → Vues (une nouvelle page apparait) cliquer en haut à gauche
Ajouter une nouvelle vue: la création d'une nouvelle vue peut commencer.

1) Critère de la vue

a) Nom de la vue: placer du texte simple. Ce nom génère automatiquement 6 lignes plus bas un nom automatique pour l'adresse IP de la vue, les accents ou autre code non ASCII sont ignorés dans l'adresse IP et remplacés par des tirets. Ceci peut se modifier directement dans la ligne de l'adresse IP.

b)Afficher : on peut afficher
b1)Commentaires: tris : - non ordonné
- plus ancien
- plus récent

b2)Fichiers : tris : - non ordonné
- plus ancien
- plus récent

b3)Contenu : b31) de type : au choix parmi tous les types de contenus présents sur le site
b32) tris: - non ordonné
- plus ancien
- plus récent
- titre
b33)étiqueté avec: ???

b4) Révision de contenu: tris : - non ordonné
- plus ancien
- plus récent

b5) Termes de taxonomie : b51: de type permet de choisir tout ou un vocabulaire parmi tous ceux existants

b6) Utilisateurs : tris : - non ordonné
- plus ancien
- plus récent

b7) Modules/thèmes/moteurs de recherche: ???

b8) Sources de la traduction

2) Possibilité de créer une page accueillant la Vue:

a) Titre: reprend par défaut le Nom de la Vue: on peut aussi modifier cette ligne pour choisir un titre différent de celui de la vue.

b)Chemin de la page: reprend par défaut le nom de la vue, on peut aussi le modifier ici.

c)Format d'affichage: c1) Calendrier (si le module Calendar est installé) sur: c11) Champ
c12) Résumés
c13) Publication complète
c14) Titres
c15) Titres liés

c2) Grille: sur comme ci dessus

c3)Liste HTML: sur comme ci dessus

c4) Liste non mise en forme sur: comme ci dessus

c5) Menu de saut sur: comme ci dessus

c6) Tableau sur: Rien

d) Éléments à afficher: entrez un nombre indiquant le nombre de contenu qui apparaitront sur cette page

e) Créer une pagination?: cocher ou pas

f) Créer un lien de menu: cocher ou pas

3) Créer un bloc ou pas

Si oui, apparait:

a) Titre du bloc

b) Format d'affichage comme au 2) sur les mêmes critères

c) Éléments par page: un entier à entrer

d) Utiliser une pagination: cocher ou pas

Puis on valide cette création de Vue en cliquant en bas au choix

- Sauver et quitter (on affinera cette Vue plus tard)
- Continuer et modifier: si on veut tout de suite raffiner la vue

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Émetteur web à domicile via Free

aoû
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Free nous permet d'installer des sites web sur un ordinateur local accessible partout:

IP: http://82.242.75.77/xxx

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