ℝ-algèbre de division
Théorème de Frobenius: Toute ℝ-algèbre (associative) de division de dimension finie non commutative est isomorphe à ℍ.
Réf: Rotman Advanced algebra p 735.
Théorème d'Hurwitz: Toute ℝ-algèbre (non nécessairement associative) normée (∀(x,y) ∈ A² ‖x.y‖=‖x‖.‖y‖ ) unitaire est isomorphe à ℝ, ℂ, ℍ ou aux Octonions.[1]page 166
Ce résultat se généralise si l'algèbre n'est pas unitaire. L'hypothèse de dimension finie est ici superflue. Ce théorème se généralise à tout corps.
Remarque: dans le procédé de doublement de Cayley-Dickson N(a ⊕ bm) = n(a) − µn(b) [1]page 64, où n est la norme sur l'algèbre de "départ", la norme N de la nouvelle algèbre est définie sur ℝ si et seulement si µ est strictement négatif . Ce qui revient à prendre µ=-1 dans ℝ.
Remarque: on peut remplacer la norme par une forme quadratique isotrope, on définit alors les complexes,quaternions, octonions fendus (split) [1]page 66 qui ne forment pas des algèbres de division.
Réf: Conway, Smith chapitre 6 p 72
Références
- MacCrimmon K.
2004. A Taste of Jordan algebras. Universitext. :589.