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ℝ-algèbre de division

Soumis par Laurent Petit cours le dim, 19/08/2012 - 00:23

Théorème de Frobenius: Toute ℝ-algèbre (associative) de division de dimension finie non commutative est isomorphe à ℍ.

Réf: Rotman Advanced algebra p 735.

Théorème d'Hurwitz: Toute ℝ-algèbre (non nécessairement associative) normée (∀(x,y) ∈ A² ‖x.y‖=‖x‖.‖y‖ ) unitaire est isomorphe à ℝ, ℂ, ℍ ou aux Octonions.[1]page 166

Ce résultat se généralise si l'algèbre n'est pas unitaire. L'hypothèse de dimension finie est ici superflue. Ce théorème se généralise à tout corps.

Remarque: dans le procédé de doublement de Cayley-Dickson N(a ⊕ bm) = n(a) − µn(b) [1]page 64, où n est la norme sur l'algèbre de "départ", la norme N de la nouvelle algèbre est définie sur ℝ si et seulement si µ est strictement négatif . Ce qui revient à prendre µ=-1 dans ℝ.

Remarque: on peut remplacer la norme par une forme quadratique isotrope, on définit alors les complexes,quaternions, octonions fendus (split) [1]page 66 qui ne forment pas des algèbres de division.

Réf: Conway, Smith chapitre 6 p 72

Références

  1. MacCrimmon K. 
    2004.  A Taste of Jordan algebras. Universitext. :589.