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Représentation spinorielle

Soumis par Laurent Petit cours le lun, 13/08/2012 - 12:01

SO(2n) et SO(2n+1) sont des groupes de Lie non compacts, bien que bornés, leur recouvrement à deux feuillets Spin(2n) et Spin(2n+1)
sont eux compacts.

Les diagrammes de Dynkin de ces deux familles de groupes de Lie commencent par des points reliés par des tirets mais à leur extrémité on trouve ou bien une double ligne pour Spin (2n+1) ou bien une ramification pour Spin(2n).

Ces deux points terminaux correspondent aux représentations spinorielles de Spin(N). On peut rencontrer l'expression représentation spinorielle de SO(N) au lieu de Spin(N), ce qui est un raccourcis.

Spin(N) est naturellement un sous groupe de l'algèbre de Clifford Cl(N) comme produits pairs de vecteurs de longueur 1.
Toute représentation de l'algèbre de Clifford induira une représentation de Spin (N).

Ce phénomène n'existe pas pour la famille SU(N) car leur diagramme de Dynkin est une suite de points non ramifiés relié par de simple ligne.

Réf:
Bröcker
Kirillov
Knapp : Lie Groups beyond..
Hall: Lie groups..
Fulto: representation...
Simon B: representation...
Adams JF: lectures
Humphreys James: Introduction to Lie algebras
Varadarajan: Lie groups..