Automorphismes d'algèbres de division normées
La caractérisation des automorphismes φ des algèbres de division normées A = ℂ, ℍ ou Octonions
L'automorphisme d'algèbre normée vérifie par définition
1) φ est bijectif
2) φ est ℝ linéaire
3) ∀(x,y) ∈ A² ‖φ(x.y)‖=‖φ(x)‖.‖φ(y)‖
Ⅰ) Complexes
φ est ou bien l'identité ou la conjugaison.
À noter que si on lève l'hypothèse sur la conservation de la norme (module) il existe des automorphismes de corps sur ℂ non continus.
réf: http://fr.wikipedia.org/wiki/Automorphisme_de_corps_non_continu_de_C
Une conséquence de l'axiome du choix non dénombrable.
Réf: Arnaudès Fraysse Algèbre page 221
Ⅱ) Quaternions
1) Tout automorphisme du corps ℍ est intérieur.
Réf: Bourbaki, Topologie VIII 25 exercice 5
2) Une généralisation :
Théorème: soit A un anneau semi-simple, C son centre, et u un automorphisme de A. On suppose que A est un C-module de type fini, et que u(x)=x
pour tout x de C, Alors u est un automorphisme intérieur. BA8 page 254
Corollaire1 : Si E est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps, alors tout endomorphisme des K-algèbres End(K,V) et M(n,K) est intérieur.
Corollaire2 : si un corps K est de degré fini sur son centre, tout automorphisme qui laisse les éléments de C fixes est intérieur.
Or d'après BA8 page 355 une algèbre de quaternions sur le corps K de type (a,b,c) est centrale simple si et seulement si
(4a+b²)c est différent de zéro (ce qui est vérifié par les quaternions de Hamilton de type (-1,0,-1)), dans ce cas tout automorphisme laissant K fixe est intérieur.
Ⅲ) Octonions
L'ensemble des ℝ automorphisme d'algèbre normée des octonions est le groupe de Lie G₂ AdamsLie
Ⅳ) Réels:
Le seul automorphisme de corps est l'identité, l'hypothèse sur la norme (valeur absolue) n'est pas nécessaire. L'existence d'un ordre total sur ℝ s'y substitue.
Arnaudiès Fraysse Analyse page 22 et 30