Formes quadratiques dégénérées et vecteurs isotropes

Définitions:

1) une forme quadratique Q est dégénérée si et seulement si sa forme bilinéaire associée l'est.
2) un vecteur X est isotrope pour une forme quadratique Q si Q(X) = 0

exemple: sur ℝ² notons X=(x,y) X₁=(x₁, y₁) X₂= (x₂, y₂)

Q la forme quadratique et φ sa forme bilinéaire associée.

Elles sont liées par l'identité de polarisation:

Q(X₁+X₂) - Q(X₁) - Q(X₂) = 2 φ(X₁,X₂)

Si Q(X)=x² alors φ(X₁,X₂) = x₁x₂ qui est dégénérée, (0,1) étant orthogonal à tout vecteur

Si Q(X)= 2xy alors φ(X₁,X₂)= x₁y₂+y₁x₂ qui n'est pas dégénérée, le déterminant de sa matrice dans la base canonique de ℝ² vaut -1, pourtant cette forme quadratique possède des vecteurs isotropes comme (0,1) ou (3,0)

Conclusion: une forme quadratique peut posséder des vecteurs isotropes sans être dégénérée.